انواع المنحنيات الدائرية االفقية

بسم هللا الرحمن الرحيم 2 مساحة المحاضرة الرابعة )المنحنيات( تستعمل المنحنيات عموما في االعمال الهندسية للتغير من اتجاه خط مستقيم الي اتجاه اخر سواء اكان ذلك في المستوي االفقي )منحنيات افقية( او المستوي الرأسي)منحنيات رأسية( وفي المستوي االفقي يوصل المنحني االفقي هذين االتجاهين لتفادي التغير المفاجئ في االنحراف ويكون هذا المنحني مماسا لهما وايضا لتسهيل حركة السيارات والقطارات والموائع --- الخ حتي اليحدث انتقال فجائي من مستقيم الخر. هنالك انواع كثيرة من المنحنيات اال انه يمكن حصرها في االتي:- 1/ المنحنيات الدائرية االفقية 2/ المنحنيات االنتقالية االفقيه 3/ المنحنيات الرأسية المنحنيات الدائرية االفقية اوال:- Horizontal Circular Curves (H.C.C.) Horizontal Transition Curve (H.T.C.) Vertical Curve (V.C.) انواع المنحنيات الدائرية االفقية أ/ المنحني الدائري البسيط Simple Circular Curve (S.C.C.) يتكون من قوس واحد ذو نصف قطر ثابت ب/ المنحني الدائري المركب (C.C.C.) Compound Circular Curve يتضمن هذا النوع منحنيين دائريين او اكثر ذات انصاف اقطار متباينة ومراكزها تقع في نفس جانب المماس المشترك بينهما. ج/ المنحني الدائري العكسي(. R.C.C ) Reverse Circular Curve يتكون هذا المنحني من منحنيين دائريين بسيطين لكل منهما نصف قطر معين ومركز خاص به ويكون اتجاه انحناء احدهما عكس اتجاه انحناء االخر. د/ المنحنيات االنتقالية Curve(T.C.) Transition تختلف المنحنيات االنتقالية عن المنحنيات الدائرية بكونها تقع علي جانبي المنحنيات الدائرية في التصاميم الهندسية التي تتطلب وضعها وخاصة في طرق الخطوط السريعة وكذلك في خطوط السكك الحديدية حيث تتميز بقابلية كبيرة علي التغيير التدريجي في االنحناء والقوة الطاردة المركزية مما يجعل الطريق اكثر امانا وللمنحني االنتقالي عدة انواع معرفة من الناحية الرياضية وهي :- 1/ منحني الكلوثويد 3/ منحني اللمنسكيت ثانيا Clothoid 2/ منحني القطع المكافئ التكعيبي Cubic Parabola Lemniscate Curve 4/ منحني الحلزوني التكعيبي Cubic Spiral :- اجزاء المنحني وعناصره وعالقاته الرياضية التي تربط االجزاء من الشكل ادناه A,B, and C هم ثالثه نقاط علي محيط دائرة, مركزية α, θ علي التوالي. AB,AC اوتار يصنعان زاوية

Arcs of the circle are AEC, ADB their lengths are = 2 R (θ/360) and 2 R (α/360) ويمكن ايضا اعتبار ان اطوالهما = Rθ Rα and باعتبار ان α, θ هما بالتقديرالنصف قطري radiance CBA and EDA من اشكل 2 الخطوط هم مماسان للدائرة التي مركزها O في B and D

زاوية = ABO زاوية = ADO 00 درجة )نظرية( اذن الشكل ABOD رباعي دائري الزاوية FAE زاوية خارجية في الرباعي الدائري وهي تساوي الزاوية الداخلية المقابله للمجاوره لها + BOG ⁰ وزاوية 00 = GBO زاوية + ABG زاوية BOG = زاوية θ/2 BOD = θ زاوية = GBO 00⁰ ايضا بناءا علي ذلك زاوية = ABG زاوية θ/2 BOG = الزاواية ABG محصورة بين المماس AB والوتر BD وهي تساوي نصف الزاوية المركزية BOD الزاوية BOG هي زاوية خارجية للمثلث BOH اذن الزاوية = BOG الزاوية + OHB الزاوية OBH ولكن زاوية OHB والزاوية OBH متساويتان في المثلث BOH المتساوي الساقين اذن الزاوية BOG تساوي نصف الزاوية 4/θ BOG = وبالمثل زاوية 4/θ OHD = وعلي ذلك تكون زاوية 2/θ BHD = ومن هذا نستنتج ان الزاوية المحيطية المنشأة عل الوتر تساوي الزاوية المركزية المنشأة معها في نفس الوتر عناصر المنحني الدائري البسيط من الشكل 3 المستقيمان AI و BI يتقاطعان في النقطة I) نقطة االنحراف ) وينحرفان بزاوية انحراف ويطلق عليه ايضا زاوية التقاطع ولتفادي االنحراف المفاجئ البد من عمل منحني دائري بسيط قدرها θ و طول المماسان IT1 و IT2 متساويان. حيث يمس المنحني المستقيمان في النقطتين T1 و T2 و T2 لذلك يجب اوال مسامتة قبل توقيع هذا المنحني علي الطبيعة البد من توقيع نقطتي التماس T1 ثم قياس طول المماس IT1 علي الطبيعة الثيودالين فوق نقطة التقاطع I ومن ثم قياس زاوية االنحراف θ و IT2 لتثبيت نقطتي التماس IT1 بعد تجهيز حساباتة 3/ طول المنحني 2/ تدريج نقطة التماس االولي حساب عناصر المنحني 1/ طول المماس 7/ السهم الخارجي 6/ السهم الداخلي 5/ الوتر الكلي 4/ تدريج نقطة التماس الثانية )طول المماس( 1/ Tangent length IT1 = IT2

In triangle IT1O IT1/R = tan (θ/2) Therefore IT1 = R*tan (θ/2) (1) 2/ Change of T1 = Change of I - IT1 )تدريج نقطة التماس االولي( 3/ Length of curve T1T2 )طول المنحني الدائري( Curve T1T2 = R*θ radians 4/ Change of T2 = Change of T1 + Curve length )تدريج نقطة التماس الثانية( 5/ Long Chord T1T2 )طول الوتر الكلي( The long chord is the straight line joining T1 and T2 the line IO is the perpendicular bisector of T1T2 at C In triangle T1CO T1C/R = sin (θ/2) so T1C = R*sin (θ/2) So T1T2 = 2*R*sin (θ/2) 6/ major offset CV )طول السهم الداخلي( CV = R - OC In triangle T1CO CO/R = cos (θ/2) so CO = R*cos (θ/2) CV = R - R*cos (θ/2) = R*(1-cos (θ/2) 7/ external distance VI )طول السهم الخارجي( The length of VI is the shortest distance from the intersection point to the curve VI = IO - R In triangle IT1O IO/R = sec (θ/2) so IO = R*sec (θ/2) VI = R*sec (θ/2) - R s VI = R*(sec (θ/2) - 1) مثال) 1 ). طريقان بورتسودان سواكن )AI( وجبيت سواكن )BI( يتقاطعان في مدينة سواكن عند النقطة I المطلوب حساب عناصر المنحني مستعينا بالبيانات التالية :- AI N ⁰E Dist. 450.30 m IB N 70 ⁰ E Dist. 275.00 m The radius of the curve joining the straights is 300m. θ = 70 ⁰ - ⁰ = 50 ⁰ Chain age of I = 450.30 m 1/Tangent length IT 1 = R*tan (θ/2) = 300*tan(25) = 139.89 m 2/ Chain age T 1 450.30 139.89 310.41 m 3/ Curve length = R*θ rad. = 300 *0.87266 = 261.80 m الحل 1/ زاوية االنحراف

4/ Chain age T 2 = 310.41 +261.80 = 572.21 m 5/ Long Chord T 1 T 2 = 2*R*sin (θ/2) = 2*300* sin (25) = 253.57 m 6/ Major offset CV = R (1-cos (θ/2) = 300*(1 cos (25)) = 28.11m H.W. Tow straights AI and IB deviate to the left by 80⁰ 36 they are to be joined by a circular curve such that the shortest distance between the curve and intersection point is 25.3m calculate (i) the radius of the curve (ii) the lengths of the long chord and major offset. تعريف المنحنيات تعرف المنحنيات بطريقتان :- 1/ بطول نصف القطر وعموما نصف القطر دائما عبارة عن مضروب ال 00 متر 2/ بدرجة االنحناء للمنحني D ⁰ التي تقابل قوسا دائريا طولة 100 متر. العالقة بين درجة االنحناء ونصف القطر )منحني درجة انحنائه ) 5 ⁰ ونصف قطره = 100 متر Arc length AB = R*θ radians = R*θ* /180(θ in degree) Therefore R = (100*180)/ (θ* ) m = 0729.8/θ = 1145.96 m (θ = 0 ⁰ ) الموانع والعقبات في توقيع المنحنيات علي الطبيعة قد يواجه المهندس بعض العقبات عند توقيع المنحنيات وهي كثيرة ولكن نذكر منها :- Angle ACD = 225 ⁰ 15 00 AC = 559.28 m Angle CDB = 227 25 00 CD = 256.50 m 1/ موانع في الوصول الي نقطة التقاطع I 2/ موانع لتخطيط المنحني مثال من الشكل ادناه ومستعينا بالبيانات االتية :- 300 متر احسب تدريج نقطة التماس االولي اذا كان نصف قطره

Solution In triangle ICD Angle C = 72⁰ 15 00 Angle D = 47 25 00 Therefore Angle I = 60 ⁰ 00 By Sine rule IC/sin (47 ⁰ 25 ) = CD/sin (60 ⁰ ) Therefore IC = 256.50*0.738259/0.8689 = 217.35m Chain age of I = AC + 217.35 = 776.63 m Deviation angle θ = 180⁰ 00 00-60⁰ 00 = 119⁰ 40 00 Tangent length IT = R*tan (θ/2) = 300*tan (09⁰ 00 ) = 300*1.7474 = 516.142m Therefore chain age of T 1 = Chain age of I - 516.142 = 260.49 m )علي الطالب حساب بقية العناصر( /2 منحني يمس ثالثه مستقيمات straights) (Curve tangential to three من الشكل ادناه ثالث طرق يراد ايصالهما بمنحني دائري بسيط والمطلوب حساب نصف قطر المنحني من المعلوم ان كل طريق يمس منحني طول نصف قطره R ولحل مثل هذه المسائل البد من اخذ اوال المستقيمان AB و BC علي حده ثم نجري الحسابات التالية:- BT 1 = BT 2 and θ 1 is their angle of deflection Therefore BT 1 = BT 2 = R tan (θ 1 /2) Considering straights BC and CD only. CT 2 = CT 3 and θ2 is their angle of deflection Therefore CT2 = CT 3 = R tan (θ 2 /2) The length BC = (BT 2 + CT 2 ) Therefore BC = (R tan (θ 1 /2) + R tan (θ 2 /2)) Hence R = BC / (tan (θ 1 /2) + tan (θ 2 /2)) or R = BC (tan (θ 1 /2) + tan (θ 2 /2))

/3 منحني يمر بثالث نقاط معلومة االحداثيات points) (Curve passing through three known,p Q and R )الشكل ادناه( ثالث نقاط معلومة االحداثيات يراد ايصالهما بمنحني دائري بسيط والمطلوب حساب نصف قطر المنحني. الدائرة التي تمر بالنقاط الثالث هي عبارة عن محيط دائرة تمر برؤوس المثلث PQR لذلك Angle QPR (المحيطية) = ½ angle QOR (المركزية) = angle SOR (SO منصف الضلع QR) Angle QPR and SR can be calculated from the coordinates. Therefore OR = SR cosec (SOR) قتا الزاوية = cosec باستخدام قانون حيب الزاوية يمكننا حساب اطوال االوتار ومن ثم نصف قطر المنحني من الشكل اعاله احسب طول نصف قطر المنحني) المار بالنقاط الثالث( مستعينا بالبيانات ادناه :- Point Northing Easting 6 171.3 247.6 Q 5.4 332.0 R 122.1 390.4 مثال الحل tan (bearing BQ) = E/ N = (332.0-247.6)/ (5.4 171.3) = 84.4/34.1 Bearing BQ = tan -1 (84.4/34.1) = N 68 ⁰ E = 68⁰WCB tan (bearing PR) = E/ N = (390.4 247.6) / (122.1 171.3) = 142.8/-49.2 Bearing PR = tan -1 (142.8/-49.2) = S 71⁰ E = 109⁰WCB Distance QR = ( E 2 + N 2 ) = (83.3 2 + 58.4 2 ) = 101.73 m Angle QPR = 109 ⁰ - 68 ⁰ = 41 ⁰ In triangle PQR p / sin (P) = 2* radius Therefore radius = 101.73 / 2*sin (41 ⁰ ) = 77.53 m (تخطيط المنحنيات علي الطبيعة) Setting out تنقسم المنحنيات الي قسمين :-

1/ منحنييات ذات انصاف اقطار كبيرة )< من 100 متر( ولتوقيعها علي االرض نستخدم الثيودواليت 2/ منحنيات ذات انصاف اقطار صغيرة )> من 100 متر( ولتوقيعها علي االرض نستخدم شريط القياس. 1/ منحنيات ذات انصاف اقطار صغيره توجد اربعه طرق لتوقيع مثل هذه المنحنيات :- أ/ الطريقة االولي center) (Finding the )نصف قطر المنحني < من 30 متر( من الرسم ادناه يراد عمل كرفستون عند ملتقي الطريق وقد تم قياس زاوية االنحراف 1θ من خارطة IT 1 والذي يساوي IT 2 من المعادلة (2/ R*tan(θ 1 بعد ذلك طريقة الموقع ومن ثم تم حساب طول المماس. والمسافة IT 2 توقيع المنحني كاالتي:- 1/ من نقطة االنحراف I نقيس الي الخلف المسافة IT 1 T 2 علي االرض باوتاد و 2/ يتم تثبيت نقطتي التماس T 1 3/ ثبت صفر الشريط في كل من نقطتي التماس T 1 and T 2 وبفتحة تساوي قيمة نصف القطر قاطع من كل من نقطتي التماس ليتالقو في نقطة واحدة هي مركز الدائرة O ز وبفتحة طول نصف القطر ارسم المنحني الذي سيمس نقطتي التماس 4/ ثبت صفر الشريط في النقطة O T 1 and T 2 ب/ الطريقة الثانية tangent) Offsets ))زاوية from the االنحراق < من 00⁰( عندها البد من حساب المسافات تستخدم هذه الطريقة عندما النستطيع الوصول الي مركز المنحني o العموديه من المماس الي المنحني ونرمز لها بالرمز Y وهي كل X متر من نقطة التماس. T 1 والضلع ) Y AO = ( R AT 1 = Y الضلع من الشكل ادناه AB رسم موازيا للمماس IT 1 In triangle OAB OA = (OB 2 - AB 2 ) (BY PYTHAGORAS) هكذا يتم حساب المسافات العمودية ) 2 i.e. ( R Y ) = (R 2 X 2 ) Therefore Y = R - (R 2 X

مثال احسب المسافات العمودية من المماس كل 0 امتار لرفع المنحني علي الطبيعة اذا علم االتي:- 1/ طول نصف القطر 60 متلر 2/ زاوية االنحراف 00⁰ 3/ المسافات االفقية كل 0 امتار الحل a) Tangent lengths IT 1 = IT 2 = R*tan(θ/2) = 60*tan(00/2) = 27.98 m b) Offsets at 5m = 60 - (60 2-5 2 ) = 0.210 m = Y 1 10 m = 60 - (60 2-10 2 ) = 0.840 m = Y2 15 m = 60 - (60 2-15 2 ) = 1.905 m = Y 3 m = 60 - (60 2-2 ) = 3.430 m = Y 4 25 m = 60 - (60 2-25 2 ) = 5.456 m = Y 5 27.98 m = 60 - (60 2 27.98 2 ) = 6.923 m = Y 6 طريقة توقيع المنحني علي الطبيعة IT 1 وهي طول المماس ونثبت هذه النقطة علي الطبيعة بوتد 1/ من نقطة التقاطع I نقيس المسافة 2/ نقسم المسافة IT 1 الي مسافات متساوية طول كل قسم 0 امتار ماعدا القسم االخير سيكون 2.98 3/ وبالشريط نقيم اعمدة عند هذه االقسم ثم نقيس علي كل عمود طوله الذي تم حسابه سابقا (Y) ج/ الطريقة الثالثة chord) (offsets from the long هذه الطريقة تستخدم عندما يكون نصف قطر المنحني صغير حيث ينفذ المنحني بحساب اطوال االعمدة y من الوتر الكلي T 1 T 2 علي مسافات متساوية من نقطة التماس من الشكل ادناه VC هو السهم الداخلي Y والضلع OC ثابت نفرض طولة K اذن:- Major offset Y = (R K) In triangle OTC k = (R 2 X 2 ) Therefore Y = R - (R 2 X 2 ) Any other offset Y n = (AB - K) in triangle ABO, AB = (R 2 X n2 ) Therefore Y n = (R 2 X n2 ) - K

1/ منحنيات ذات انصاف اقطار اكبر من 100 متر طرق توقيع المنحني :- أ/ طريقة الزوايا المماسية method) (Tangential angle وتسمي ايضا بطريقة زوايا االنحراف Deflection angles method وهي تنفذ بطريقتان := 1/ باستخدام الثيودواليت والشريط 2/ باستخدام جهازي ثيودواليت 1/ باستخدام الشريط والثيودواليت:- بعد تثبيت النقاط االساسية )I ) T 1, T 2 علي الطبيعة وبعد حساب كافة عناصر المنحني يتم توقيع المنحني من خالل حساب الزوايا المماسية المحصورة بين المماس والنقاط علي المنحني وكذلك حساب اطوال الوتر الجزئي االول والوتر الجزئي االخير مستخدمين القوانين ادناه:- Standard _chord angle α2 = (c 2 /R *1718.9) minutes Or sin (α 2 ) = c 2 /2R Initial sub chord angle α 1 = (c 1 /R *1718.9) minutes Or sin (α 1 ) = c 1 /2R Final sub chord angle = α 2 * c n /c 2 نحسب عدد االوتارالكلية بقسمة طول المنحني علي طول الوتر الكلي. C 2 مثال مستقيمان AI & IB انحرافهما الربع دائري علي التوالي N 80⁰ E & S 70⁰ E يراد ايصالهما بمنحني دائري نصف قطره 300 متر فأذا كان تدريج نقطة االنحراف I هو 872 ز 480 متر احسب بيانات توقيعة علي الطبيعة مستخدما شريط طولة متر بطريقة الزوايا المماسية. الحل a) Tangent length = 300*tan(10⁰) = 80.380 m b) Chain age of T 1 = (872.485-80.385) = 792.100 m c) Curve length = 300 *θ in rad = 300*(30⁰ * )/180 = 107.080 m d) Chain age of T2 =chain age of T1 + Curve length = 792.100 + 157.080 = 949.180 m e) Number of chords Initial sub chord = (800.000 792.10) = 7.90 m 7 full chords of m = 7*.0 = 140.00 m Total = 147.90 m Therefore final sub chord = (157.08-147.90) = 9.18 m the sum of the three above should equal to the curve length 157.08 m f) Tangential angle for standard m chord = (/300 * 1718.9) = 114.093 = g) Sub chord angles Initial = 114.093 *7.90 /.0 = 40.264 = 00⁰ 40 16 Final = 114.593 * 9.18 /.0 = 02.098 = 00⁰ 02 36 لهذا المثال والي مثال من هذا النوع يجب عمل جدول كاالتالي :-

Chart NO. T1 1 2 3 4 5 6 7 8 9(T2) Length (m) 7.90 9.18 157.08 Chain age (m) 792.10 800.00 8.00 840.00 860.00 880.00 900.00 9.00 940.00 949.18 157.08 Chord angle 00⁰ 40 16 00⁰ 02 36 Tangential angle 00⁰ 40 16 02 39 52 04 34 28 06 29 04 08 23 40 10 18 16 12 12 52 14 07 28 15 00 00 وباهلل التوفيق